Mathematik in der Grundschule
Lektion 6: Problemlösen

1. Einführung
2. Begründungszusammenhang
3. Bezug zur Unterrichtspraxis
4. Literatur, Materialien, Internetadressen
  
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Worterklärungen finden Sie im Glossar.

 1. Einführung

„Das Problem ist die Lücke zwischen dem Ort, wo Du bist, und dem Ort, wo Du hinwillst.“ (Hayes)

Problemlösen im Sinne der Erwartungen des Kerncurriculums für das Fach Mathematik wird immer dann von den Schülerinnen und Schülern erwartet, wenn eine Lösungsstruktur nicht naheliegend oder offensichtlich ist und demzufolge strategisches Vorgehen zur Lösungsfindung erforderlich ist. Die Kompetenz Probleme zu lösen zeigt sich demnach darin, dass die Schülerinnen und Schüler über geeignete Strategien zur Auffindung mathematischer Lösungsansätze und -wege verfügen und zudem darüber reflektieren können. Grundlegend sind dabei u. a. die Anwendung verschiedener heuristischer Prinzipien und das Verwenden geeigneter Hilfsmittel (Zerlegungsprinzip, Analogieprinzip, Systematisches Probieren, Vorwärtstreiben, Rückwärtstreiben, Veranschaulichung durch Skizzen oder didaktische Materialien).

Diese Lektion soll anregen, Aufgaben zur Anbahnung der Problemlösekompetenz in der Unterrichtspraxis aufzugreifen, und in diesem Zusammenhang über notwendige fachdidaktische Grundlagen zu informieren. Als fachdidaktische Voraussetzung für die Auswahl und Aufbereitung unterrichtsgeeigneter Aufgabenstellungen ist die Kenntnis heuristischer Strategien erforderlich.

Problemaufgaben zum Aufwärmen

Aufgabe 1:

Versuchen Sie bitte, die Beispielaufgaben zu lösen. Verfolgen Sie dabei ihren Lösungsweg.

Welche Strategien oder Hilfsmittel sind Ihrer Meinung nach für die jeweilige Aufgabe in besonderer Weise geeignet? Die Ergebnisse werden in der Audio-Konferenz diskutiert.

 

 2. Begründungszusammenhang

„Von Problemlösen wird immer dann gesprochen, wenn für einen Schüler oder eine Schülerin kein unmittelbarer Lösungsweg für die Bearbeitung einer Aufgabe zu Verfügung steht. Die Schüler und Schülerinnen lernen in diesem Zusammenhang verschiedene Lösungsstrategien kennen wie z. B. das systematische Probieren. Auch das Übertragen bekannter Zusammenhänge auf neue Sachverhalte und die Reflexion über Lösungswege helfen ihnen, ihre Problemlösefähigkeit zu entwickeln.“
(Kerncurriculum, Seite 18)

Die Ausbildung und Vertiefung der Problemlösefähigkeit ist demzufolge eines der
zentralen Ziele im Mathematikunterricht. Im Mittelpunkt einer problemorientierten Unterrichtsgestaltung steht die aktive Auseinandersetzung mit geeigneten Problemstellungen, an denen die Schülerinnen und Schüler produktiv tätig werden können.
Während des Problemlöseprozesses greifen sie auf bereits Bekanntes (Operationen, Begriffe und Denkmodelle) zurück, vernetzen dieses im Sinne eines erfolgversprechenden Lösungsansatzes und erzeugen auf diese Weise im Finden der Lösung eigenständig neues Wissen inhaltlicher sowie strategisch-heuristischer Art.

Problemorientierte Aufgaben weisen eine „Lücke“ zwischen Ausgangszustand und Zielzustand auf, sie stellen für die Schülerinnen und Schüler eine Hürde da, die es zu überwinden gilt. Ist die Hürde sehr niedrig, handelt es sich um ein Routineproblem, müssen die Schülerinnen und Schüler hingegen zunächst nachdenken, analysieren, Vermutungen anstellen und überprüfen, kann man von einem „echten“ Problem sprechen.

Solche Problemaufgaben intendieren weniger den kurzfristigen und zielstrebigen Aufbau abrufbaren Wissens durch Regellernen, sondern fördern im Wesentlichen die Bereitschaft und Fähigkeit, divergent zu denken. Für die Ausbildung einer solchen Denkhaltung ist es unerlässlich, dass die Schülerinnen und Schüler im Laufe der Zeit immer weniger auf Hilfen und Instruktionen der Lehrkraft angewiesen sind, sondern zunehmend zum Lernen durch Selbstinstruktionen in der Lage sind.

Solche Selbstinstruktionen bestehen vor allem darin, dass die Schülerinnen und
Schüler bereits Gelerntes aktivieren und organisieren. Hierbei wird deutlich, dass beim systematischen Aufbau von Problemlösekompetenz das Lernen und Anwenden von heuristischen Regeln oder mit anderen Worten das „Eigenständig-Denken-Lernen“ im Vordergrund steht. Methodisch ist dies insbesondere in einem Unterricht zu verwirklichen, der Entdeckungen zulässt und in dem die Lehrkraft dem Prinzip der minimalen Hilfe folgt. Den Schülerinnen und Schülern wird lediglich ein Mindestmaß denkstrategischer Unterstützung angeboten. Auf diese Weise wird gewährleistet, dass die Schülerinnen und Schüler ihren eigenen Lösungsweg beschreiten.

Als zentrale Idee im Kontext des Aufbaus von Problemlösekompetenz formuliert Regina Bruder: „Problemlösekompetenzen erwerben durch Förderung geistiger Beweglichkeit über das Ausbilden von Teilhandlungen des Problemlösens in Verbindung mit heuristischen Hilfsmitteln und Strategien“.

  Eine grundlegende Einführung zum Thema Problemlösen finden Sie in "Elementare Bausteine der kombinatorischen Problemlösefähigkeit" von Dr. Antje Hoffmann

 3. Bezug zur Unterrichtspraxis

Bezogen auf die Unterrichtspraxis ist besonders die Auswahl geeigneter Aufgabenstellungen entscheidend, so dass im Folgenden im Sinne eines „Handwerkzeugs“ für die Unterrichtspraxis die Einschätzung von Aufgaben im Zusammenhang mit der Klärung verschiedener heuristischer Prinzipien und geeigneter Hilfsmittel thematisiert wird.

Im Sinne einer didaktischen Stufung im problemorientierten Unterricht unterscheidet Regina Bruder folgende Lernschritte für die Unterrichtspraxis:

I.  Reflexion über Lösungen
Durch regelmäßige Gespräche über Lösungswege gewöhnen sich die Schülerinnen und Schüler an heuristische Methoden und Techniken.
II.

Bewusstmachen heuristischer Strategien
Bei der Bearbeitung markanter Beispiele lernen die Schülerinnen und Schüler bewusst Problemlösungsstrategien zu differenzieren und auszuwählen.

III.

Vertiefung und Übung zu heuristischen Strategien
Bereitstellung von Beispielen mit unterschiedlicher Schwierigkeit zur selbstständigen Bearbeitung.

iV . Kontexterweiterung durch Strategieanwendung
Beispiele aus anderen mathematischen Gebieten und der Lebenswelt zur Anwendung neu erarbeiteter Strategien.
V. Reflexion und Dokumentation des eigenen Problemlösemodells
Wie gehe ich vor, wenn ich eine schwierige Mathematikaufgabe lösen will?

Aus: Regina Bruder: Problemlösen für alle, Vortrag, Soltau, 2005
(http://sinus-transfer.uni-bayreuth.de/fileadmin/MaterialienIPN/Bruder.pdf)

Auf einige ausgewählte heuristische Strategien, Prinzipien und Hilfsmittel soll im Folgenden weiter eingegangen werden:

  • Heuristische Strategien/Prinzipien
    • Vorwärtsarbeiten
    • Rückwärtsarbeiten
    • Nutzen des Invarianzprinzips
    • ungerichtetes und systematisches Probieren
    • Beispiele betrachten/Vereinfachen/ Zerlegungsprinzip
    • Analogien nutzen
  • Heuristische Hilfsmittel
    • informative Figur oder Veranschaulichung durch didaktische Materialien
    • Gleichungen
    • sortierte Listen erstellen (z.B. Tabelle)
    • Schaubilder zeichnen
    • eine Skizze anfertigen
     
  In der vorliegenden Zusammenstellung werden ausgewählte heuristische Strategien, Prinzipien und Hilfsmittel an Aufgabenbeispielen verdeutlicht.


Arbeitsanweisung

Aufgabe 2: Entscheiden Sie, welche heuristischen Strategien, Prinzipien und Hilfsmittel für die Lösung der auf dem vorliegenden Arbeitsblatt aufgeführten Aufgaben besonders geeignet sind. Die Ergebnisse werden in der Audio-Konferenz diskutiert.
Aufgabe 3:
(optional)

Erproben Sie die folgende Aufgabe im Unterricht. Eignet sie sich zum bewussten Anbahnen von heuristischen Strategien und zur Nutzung heuristischer Hilfsmittel?

Beispielaufgabe für die 1./2. Klasse:

Oskar las in den Osterferien ein ganzes Buch mit 35 Seiten. Montags las er nur wenige Seiten und von da ab las er jeden Tag eine Seite mehr als am Tag zuvor. Am Sonntag hatte er das Buch ganz durchgelesen. Wie viele Seiten las Oskar an den einzelnen Tagen?

Beispielaufgabe für die 3./4. Klasse:

Oskar las in den Osterferien in einer Woche ein ganzes Buch mit 133 Seiten. Montags las er einige Seiten und von da ab las er jeden Tag 5 Seiten mehr als am Tag davor. Am Sonntag hatte er das Buch ganz durchgelesen. Wie viele Seiten las Oskar an den einzelnen Tagen?
 

 4. Literatur, Materialien, Internetadressen

Literatur
  Sammelband: Spielen und Knobeln mit der Mathewelt. Friedrich Verlag Velber 200  
  Konzepte und Aufgaben zur Sicherung von Basiskompetenzen (Klett Verlag)  
  Büchter und Leuders: Mathematikaufgaben entwickeln Cornelsen Scriptor  
  Wilkinson, Mike: Denksportaufgaben aus dem Alltag. Mathe aktiv für die 3./4. Jahrgangsstufe, Auer Verlag, 2005.  
  Abels, L.(2002): Ich hab’s – Tipps, Tricks und Übungen zum Problemlösen. Mathe-Welt-Beilage in mathematik lehren 115 aus: Wiss. Hausarbeit an der TU Darmstadt 2000: „Ein Trainingskonzept zur Entwicklung mathematischer Problemlösekomptenzen"  
  BRUDER, REGINA: Problemlösen im Mathematikunterricht – ein Lernangebot für alle? In: Mathematische Unterrichtspraxis 1/2000, S. 2-11  
  HARTKOPF, WERNER: Die Erziehung zum heuristisch-methodischen Denken im Mathematikunterricht. In: Der Mathematikunterricht Jg. 10, Heft 1/1964, S.58-79  
  HEYER, ULRICH: Überlegungen zur langfristigen Ausbildung heuristischer Vorgehensweisen. In: Der Mathematikunterricht Jg. 38, 3/1992, S. 39-50  
  HEYER, ULRICH / KÖNIG, HELMUT: Heuristische Vorgehensweisen bewusst herausbilden – Methodische Empfehlungen für den Mathematikunterricht. In: Der Mathematikunterricht Jg. 38, 3/1992, S.51-65  
  KÖNIG, HELMUT: Einige für den Mathematikunterricht bedeutsame heuristische Vorgehensweisen. In: Der Mathematikunterricht Jg. 38, 3/1992, S. 24-38  
  MATHEMATIK LEHREN: Heuristik – Problemlösen lernen. Heft 115 12/2002
  POLYA, GEORGE: Die Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme. 2. Aufl. Bern 1967
  POLYA, GEORGE: Die Heuristik. Versuch einer vernünftigen Zielsetzung. In: Der Mathematikunterricht 1/1964, S. 5-15
  WINTER, HEINRICH: Entdeckendes Lernen im Mathematikunterricht. Einblicke in die Ideengeschichte und ihre Bedeutung für die Pädagogik. 2. verb. Aufl. Braunschweig 1991
 

Lompscher, J. (1976): "Verlaufsqualitäten der geistigen Tätigkeit", Berlin: Volk und Wissen

 
 

Hasdorf, W.(1976): Erscheinungsbild und Entwicklung der Beweglichkeit des Denkens bei älteren Vorschulkindern. In: J. Lompscher: Verlaufsqualitäten der geistigen Tätigkeit, Berlin: Volk und Wissen

 
  Hoffmann, Antje (2003): Elementare Bausteine der kombinatorischen Problemlösefähigkeit, Hildesheim/Berlin, Verlag Franzbecker  
Internetadressen
  Spannende Seite mit vielen Aufgabenbeispielen ab Klasse 5, die sich durchaus für die Grundschule durch Aufgabenvariation einsetzen lassen
  Christoph Selter: Mehr als Kenntnisse und Fertigkeiten, Basispapier zu Modul 2, Oktober 2004
  Mathematik-Problemaufgaben online
  Regina Bruder: Methoden und Techniken des Problemlösenlernens
  Problemlösen lernen für alle
  Peterßen, Katja: Heuristik im Mathematikunterricht
  Die total unmöglichen Seiten
  Theo Evers: Mediatorprogramme und Arbeitsblätter zu guten Aufgaben
  Knobelseite der "Hamsterkiste"
  Knobelaufgaben im Mathe-Treff der Bezirksregierung Düsseldorf

© NiLS

Stand: 06.05.2010