Protokoll vom 13.4.2007
Protokollanten: Ilja und Alexander

Der Generator

Versuchsaufbau:

Eine Spule befindet sich um ihre mittlere Achse drehbar in einem homogenen Magnetfeld.
Die in der Spule befindliche Spannung wird durch 2 Schleifkontakte für je beide Enden abgegriffen und mithilfe eines Oszilloskops dargestellt.

Durchführung und Beobachtung:

Wenn man die Spule mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht, kann man mithilfe des Oszilloskops eine vermutlich sinusförmige Wechselspannung erkennen.

Deutung:

1. mit Hilfe der Lorentzkraft

Durch die Drehung im Magnetfeld werden die Elektronen, welche sich in der Spule befinden, auch um eine, zum Magnetfeld senkrecht gerichtete, Komponente verschoben, was eine Lorentzkraft zur Folge hat.
Da diese Komponente mit dem Kosinus von dem Drehwinkel abhängt und die Lorentzkraft proportional zur (zum Magnetfeld senkrechten) Bewegung der Elektronen ist, ergibt sich ein kosinusförmiger Verlauf.
Da die Elektronen sich einmal dem einen Ende der Spule nähern, sich auf der anderen Hälfte der Drehung aber zum anderen Ende bewegen, ergibt sich eine kosinusförmige Wechselspannung zwischen den Enden der Spule.

   

Zur Vereinfachung betrachten wir eine Leiterschleife (Spule mit einer Windung). Die Leiterschleife dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω, der Drehwinkel α nimmt mit der Zeit t also nach der Formel ω = α t zu. Bei der Drehung der Leiterschleife bewegen sich die Elektronen des Drahtes zusammen mit dem Draht im homogenen Magnetfeld. Das Magnetfeld ist von oben nach unten gerichtet.

Anfangsposition:
Die Bewegungsrichtung steht genau senkrecht zum Magnetfeld, was zu einer maximalen Lorentkraft FL = e v B auf die Elektronen führt. Durch die Lorentzkraft werden die Elektronen im unteren Drahtstück nach rechts gedrückt und im oberen Drahtstück nach links (eingezeichnet ist die zur Elektronenbewegung entgegengesetzt gerichtete Stromrichtung).
Zwischen dem rechten und linken Ende entstehen dadurch (jeweils oben und unten) eine Ladungsdifferenz, eine Spannung und somit ein elektrisches Feld. Diese wachsen schnell an, bis die auf die Elektronen wirkende elektrische Kraft genauso groß ist wie die Lorentzkraft:

.

Die Länge des oberen bzw. unteren Drahtstücks ist a, die Länge des linken Drahtstücks b.

Für die elektrische Feldstärke im oberen bzw. unteren Drahtstück gilt:

.

Also ist die Spannung vom oberen bzw. unteren Drahtstück .

Da das obere und das untere Drahtstück mit Hilfe des linken Drahtstücks in Reihe geschaltet sind, addieren sich die beiden Spannungen.
Insgesamt entsteht also am unteren Spulenende ein Überschuss an Elektronen. Oben bleibt ein Überschuss an positiver Ladung, so dass zwischen den Spulenenden eine Spannung entsteht. (Das Messgerät zeigt einen positiven Ausschlag an, da am positiven Anschluss auch der Überschuss an positiver Ladung und am negativen Anschluss ein Überschuss an negativer Ladung vorhanden ist.)



Die Bewegungsrichtung ist nun schräg zum Magnetfeld gerichtet. Da nur ein Teil dieser Bewegung auch senkrecht zum Magnetfeld verläuft, sind die Lorentzkraft und die induzierte Spannung kleiner.

Die Geschwindigkeit lässt sich in 2 Komponenten unterteilen, eine senkrecht zum Magnetfeld, die andere parallel. Die Länge der senkrecht gerichteten Komponente vs ist vom Kosinus des Drehwinkels abhängig (da die Bahngeschwindigkeit ja gleich bleibt):

Für die Lorentzkraft ergibt sich:

Analog zur Herleitung für die Anfangsposition erhält man für jede beliebige Position der Leiterschleife:

Für die Winkelgeschwindigkeit gilt , wobei der Radius bei dieser Drehbewegung ist.

Da die beiden Drahtstücke wie oben erwähnt in Reihe geschaltet sind, addieren sich die beiden Spannungen:

,

wobei A = ab die Querschnittsfläche der Leiterschleife ist. Für eine Spule mit n Windungen gilt:

.

Nach einer viertel Umdrehung ist die Bewegungsrichtung parallel zum Magnetfeld, es tritt also keine Lorentzkraft und damit keine Verschiebung von Elektronen auf (da keine senkrechte Komponente vorhanden ist); die Induktionsspannung ist 0.
 
Nach einer halben Umdrehung ist die Spannung (aufgrund der senkrechten Beziehung zwischen Bewegungsrichtung und Magnetfeldrichtung) wieder maximal, allerdings ist der vorher obige Draht nun unten (und umgekehrt), weshalb der Strom in dem selben Draht jetzt in die andere Richtung gerichtet ist.
Nach einer dreiviertel Umdrehung ist der Induktionsstrom wieder 0, da Bewegungsrichtung und Magnetfeldrichtung parallel sind.
 

Die folgende Skizze stellt den jeweiligen Induktionsstrom in Abhängigkeit von der Zeit (und damit der Stellung der Spule zum Magnetfeld) übersichtlich dar:

Wählt man als Anfangsposition nicht die Stellung für maximale Induktionsspannung, sondern die Postion mit Induktionsspannung 0, die 90° bzw. T/4 davor liegt, so erhält man eine Sinuskurve.

2. Herleitung aus dem Induktionsgesetz:

Die Spule dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω, der Drehwinkel α nimmt mit der Zeit t also nach der Formel ω = α t zu. Die effektive Spulenfläche As, die senkrecht vom Magnetfeld durchsetzt wird, verändert ihre Größe mit der Drehstellung, es gilt:

A = a b     (Länge a mal Breite b)
As = a bs
bs = b cos(α)

Daraus folgt: As = a bs = a b cos(α) = A cos(α) = A cos(ωt)

Mit der magnetischen Fussdichte B lässt sich so der magnetische Fluss Φ berechnen:

Φ = B As = B A cos(ωt)

Nach dem Induktionsgesetz gilt für eine Spule mit n Windungen:

Uind = - n (dΦ / dt) = - n (d(BAcos(ωt)) / dt) = - n B A (d(cos(ωt)) / dt) = n B A ω sin(ωt)

 

Durch den Einsatz von einem zweigeteilten Schleifkontakt (siehe Skizze) kann für den einen Ausgang des Generators die ganze Zeit dieselbe Seite angeschlossen werden (oben oder unten), was dazu führt, dass der Strom die ganze Zeit in nur eine Richtung fließt.

Ergebnis:

Das konstante Drehen einer Spule im homogenen Magnetfeld erzeugt eine sinusförmige Wechselspannung
zwischen den Enden der Spule. Es gilt:
 u = û sin(ωt)     mit der Amplitude (Scheitelspannung)    û = n B A ω.

Der Versuchsaufbau des Elektromotors kann also auch als Generator benutzt werden und umgekehrt.
Beim Elektromotor erhält man durch eine angelegte Spannung eine Drehbewegung; dabei wird elektrische Energie in Bewegungsenergie umgewandelt.
Beim Generator erhält man durch eine Drehbewegung eine Induktionsspannung; dabei wird Bewegungsenergie in elektrische Energie umgewandelt.

Generatoren werden in Kraftwerken verwendet. Dabei wird die Drehbewegung z.B. durch Dampf oder Wasser erzeugt, welches eine Turbine bzw. ein Rad in Bewegung setzt.

Statt die Spule zwischen den Polen eines Hufeisenmagneten zu drehen (Außenpolgenerator) kann man auch einen Stabmagneten zwischen den Öffnungen zweier hintereinander geschalteter Spulen drehen (Innenpolgenerator). Dadurch erspart man sich die Schleifringe und Kohlebürsten. Dieses Prinzip wird bei der Fahrradlichtmaschine (fälschlich Dynamo genannt) angewendet:

Eine Dynamomaschine (erfunden von Werner von Siemens 1866) dagegen induziert den zum Erzeugen des Magnetfelds benötigten Strom selbst (dynamoelektrisches Prinzip). Der Hufeisenmagnet vom Außenpolgenerator wird durch einen Elektromagneten (U-förmiger Eisenkern, auf dem zwei Spulen sitzen) ersetzt, dessen Spulen mit den Ankerspulen in Reihe geschaltet sind. Der Eisenkern des Elektromagneten wird bei der Herstellung bereits magnetisiert, so dass ein kleiner Teil der Elementarmagnete ausgerichtet bleibt. Dieses sehr schwache Feld (oder auch z.B. das Magnetfeld der Erde) reicht aus, um im rotierenden Anker eine kleine Spannung und einen schwachen Strom zu induzieren. Dieser Induktionsstrom verstärkt wiederum das Magnetfeld des Elektromagneten, wodurch die Induktionsspannung und Induktionsstrom steigen. Dieses gegenseitige Aufschaukeln endet, sobald alle Elementarmagnete ausgerichtet sind. Dann ist die volle Spannung erreicht.


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